TEMA 7b - INTEGRAL DEFINIDA

El matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677) fue el precursor del cálculo de integrales definidas, enunciando la regla que lleva su nombre y que conecta la integral definida con la indefinida, y por tanto, con las derivadas. Por último, la gran aportación de Newton y Leibnitz, por la cual se consagran como los padres del Cálculo infinitesimal, fue relacionar el cálculo del área encerrada entre una cierta curva y el eje OX con el problema de la tangente.

La idea de sumar infinitos trozos de áreas de figuras sencillas (normalmente rectángulos) para “rellenar” figuras de lados curvos, ha sido la clave durante los siglos para resolver el problema. Esta idea es el fundamento de la Integral Definida, cuyo desarrollo formal y riguroso se debe, sobre todo al trabajo de Riemann.

1. Integral definida

Sea una función f(x) y el intervalo [a,b], se define la integral definida como el área limitada por la gráfica de f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b.

Se representa como:

5. Regla de Barrow Si f es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f entonces:

Esta regla permite relacionar las integrales definidas con las indefinidas, podemos calcularlas usando primitivas.
6. Área de funciones

6.1. Área entre una función y el eje X

El área viene dada por la integral:

 

Siendo a y b los puntos de corte de la función con el eje X

6.2. Área entre dos funciones

El área viene dada por la integral:

 Siendo a y b los puntos donde se cortan las dos funciones.

• Resumen de la integral
• Aplicaciones de la Integral definida
• Teoría I , II  y III con ejemplos finales  muy buenos (vadenumeros)
• Enlace a la web de vitutor sobre las integrales definidas (vitutor)
• Curso en youtube de integrales definidas explicando su significado.
• Videos de integrales de unicoos
• Web matesfacil con ejercicios de cálculo de áreas
• Teoría de integrales (mareaverde)
• Colección de Ejercicios de Integrales clasificados por tipo 

TEMA 7a- INTEGRAL INDEFINIDA

El Cálculo Integral, es una de las más importantes y complejas partes del Análisis Matemático su origen se encuentra en el estudio del área de figuras planas. Las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos ya se conocían en la Grecia Clásica, así como la de los polígonos regulares.
El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por líneas curvas.

Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.) para calcular el área del círculo por el método de exhaución, es decir, inscribiendo en él sucesivamente polígonos con más lados.

La suma de estas áreas se aproximaba cada vez más al área del círculo, estando en el “límite” el valor exacto Arquímedes (287- 212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco de parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo, ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica.

El método utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región. Desde los griegos hasta el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo de áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies cerradas.

Pascal, Fermat y Leibniz comienzan un estudio engarzado con el cálculo diferencial; así pues, aunque históricamente se estudian los primeros elementos del cálculo integral antes que el diferencial, en el siglo XVII se estudian y configuran a la par, relacionándose por medio de muchos e importantes resultados.

FUNCIÓN PRIMITIVA

Llamamos integración al proceso inverso de la derivación, es decir, dada una función debemos buscar otra cuya derivada sea la función dada. Diremos que F(x) es una primitiva de f(x) si y sólo si F’(x)=f(x). Una función tiene infinitas primitivas, todas ellas se diferencian en una constante.

Definiremos la integral indefinida de una función, como el conjunto de todas sus funciones primitivas:

El término dx es el diferencial de x y significa que integramos respecto a la variable x

PROPIEDADES

 

Realmente son pocas las integrales que se pueden abordar con un único método. Por el contrario, es muy normal que debamos combinar varios de los métodos que veremos a continuación para integrar una función. Todos los métodos  ( por partes, por sustitución, por descomposición de fracciones racionales) que abordaremos tienen como objetivo final transformar la integral inicial en otras hasta llegar finalmente a integrales inmediatas.

Por ello, el primer método de integración y base de todos los demás de los que veremos a continuación, es el de integración inmediata, esto es utilizar “al revés” la tabla de derivadas de las funciones elementales vistas anteriormente y que resumimos a continuación (del 7 en adelante no son necesarios saberlos para murcia):

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Hay distintos métodos de integración, según el tipo de función que queramos integrar, para el examen nuestro al final no se necesita saber ninguno, pero ya que los tengo los dejo para un futuro:

1. Método de integración por partes
Este método se utiliza para calcular la integral de un producto de funciones. (videos)


2. Método de sustitución
Este método consiste en sustituir la función o parte de ella por una nueva variable para que la integral resulte más sencilla. (videos)

3. Integración de funciones racionales


Hay dos tipos según el grado de los polinomios:
a) Grado P(x) < Grado Q(x)
En este caso, debemos factorizar en polinomio Q(x) y descomponerlo en fracciones simples:
Por ejemplo si Q(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Entonces:

b) Grado P(x) ≥ Grado Q(x)
En este caso dividimos P(x) entre Q(x):

• Resumen de la integral
• Tabla de Integrales inmediatas
• Teoría y ejemplos muy claros (vadenumeros)
• Enlace a la web de vitutor sobre las integrales indefinidas (vitutor)
• Curso en youtube de integrales inmediatas desde cero (está genial) 
• Videos de integrales de unicoos
• Web matesfacil con ejercicios de ntegrales inmediatas
• Colección de integrales resueltas

+ INFO (RECURSOS de INTEGRALES )

• Teoría de integrales
• 1. Integración por partes
• 2. Integración por sustitución
• 3. integrales racionales
• Integracion por partes y sustitución
• Ejercicios de integrales indefinidas 
  

TEMA 6C - ECUACION DE LA RECTA TANGENTE

-Interpretación geométrica de la derivada:
Como ya hemos visto anteriormente la definición de derivada, y a partir de la siguiente imagen:

Podemos interpretar la derivada como la pendiente de la ecuación de la recta tangente de f(x) en el punto P(a,f(a)), que viene dada por la siguiente expresión: y-f(a)=f ‘(a) (x-a). Aunque siempre podemos utilizar la expresión conocida para cualquier recta y=mx+n, donde m=f ‘ (a).

-Tipo 1: Hallar la ecuación de la recta tangente en un punto.

A partir de la función f(x) y dado un punto a en el que tenemos que calcular la recta tangente. Simplemente tenemos que calcular los datos que necesitamos para sustituir en la fórmula.

1º) Calcula cuanto vale la función en el punto a, es decir f(a)
2º) Calcular la pendiente. Para ello calcularemos la derivada y sustituiremos el valor de x por el punto, es decir m=f ‘(a).
3º) Sustituir en la fórmula de la ecuación de la recta tangente.

Ejemplo: Calcula la ec. de la recta tangente a la función f(x)=1/(x-1) en el punto x=2.
1º) Hallamos f(2)=1/(2-1)=1.
2º) Calculamos la derivada, y a continuación sustituimos por 2.
3º) Sustituimos en la fórmula: y-f(a)=f ‘(a) (x-a) : y-1= -1(x-2)

También puedes ver en youtube un par de ejemplos 1 y 2

-Tipo 2: Hallar la ecuación de la recta normal.

La recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente, por tanto será de la forma:

y-f(a)=- 1/f ‘(a) (x-a). Como podemos observar la pendiente en este caso es m’=-1/m, ya que las rectas son perpendiculares. Por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1º) Hallamos la nueva pendiente: m’=-1/m
2º) Hallamos el valor de y=f(a).
3º) Sustituimos en la fórmula.

Ejemplo: A partir del ejemplo anterior hallar la ec. de la recta normal en el pto x=2.
1º) Como la pendiente de la recta tangente era m=-1, la pendiente de la recta normal es: m’=-1/-1=1.
2º) Utilizamos el valor calculado de f(2)=1.
3º) Sustituyendo en la fórmula: Sustituyendo en la ecuación de la recta normal: y-f(a)=-1/f ‘(a)(x-a) obtenemos: y-1=1(x-2).

-Tipo 3: Hallar el punto en el que la recta tangente es paralela a una recta dada.

En este último caso, partimos de la función f(x) de la que nos piden hallar la recta tangente, y una recta paralela a la recta tangente. Para poder hacer este ejercicio, recordemos que dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por tanto, para este tipo de ejercicios seguiremos los siguientes pasos:

1º) Hallamos la pendiente de la recta que nos dicen que es paralela.
2º) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a la pendiente anterior: f ‘(x)=m.
3º) Resolviendo la ec. anterior obtenemos el pto a donde hay que calcular la ec. de la recta tangente.
4º) Hallamos f(a).
5º) Sustituimos en la fórmula de la recta tangente.

Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) tal que sea paralela a la recta 2x-y+3=0.

1º) Hallamos la pendiente de la recta, para ello despejamos en primer lugar la y: y=2x+3, luego la pendiente será m=2.
2º) Derivamos e igualamos a la pendiente: f ‘(x)=6x-4=2
3º) Resolvemos la ecuación:
6x-4=2 —> 6x=6 —>x=1=a
4º) Calculamos f(a)=f(1)=3 -4+3= 2.
5º) Sustituimos en la fórmula: y-f(a)=f ‘(a)(x-a) —–> y-2=2(x-1)

• Aquí podemos encontrar unos pequeños ejemplos en papel.
• Ejemplos y teoría muy clara (vadenumeros)
• Ejercicios de la ecuación de la recta y normal (vitutor)
• Colección de ejercicios resueltos (PDF)
• APLICACIONES DE LAS derivadas tangentes y sus soluciones

TEMA 6B - APLICACIONES DE LA DERIVADA

Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Te recomendamos este resumen teórico muy claro y bien estructurado para ayudarte a conseguirlo.

OBJETIVOS

• Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
• Calcular los extremos relativos de una función.
• Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.
• Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función.

Si deseas profundizar en más ejercicios de cierto nivel a cerca de las aplicaciones de la derivada te proponemos dirigirte aquí.

Por otra parte, no debemos dejar a un lado los problemas de optimización de funciones que tantos dolores de cabeza pueden darnos en clase.

Estos problemas, basicamente aplicados en el área de la Física, de los materiales, de la Biología, de la economia, etc. Los casos más frecuentes son aplicaciones geométricas: por ejemplo, tratar de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo. 

Si te gustan los audiovisuales puedes encontrar unos buenos videos sobre aplicaciones de la derivada ejemplos aquí del Instituto Alfonso X de Murcia y de máximos y mínimos.

No lo olvides, los métodos matemáticos resultan efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Administración, Ingeniería, Economía, Finanzas y Ecología entre otras.

+ INFO (RECURSOS de DERIVADAS y APLICACIONES)

• Aplicaciones de las derivadas: tangente y normal, estudio de una función

+ INFO (EJERCICIOS de DERIVADAS y APLICACIONES)

• M-0003-S / Representación de funciones (con soluciones detalladas)
• M-0004-S / Optimización de funciones (con soluciones detalladas)
• Problemas de Optimización de ANDALUCÍA