En esta nueva unidad vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss, así mismo existen otros métodos que se salen de nuestra materia pero que es importante conocerlos pero no los estudiaremos en clase, como es por el método de la Matriz Inversa y por la Regla de Cramer. También se puede analizar la compatibilidad de sistemas por Teorema_de_Rouché–Frobenius para determinar el número de posibles soluciones pero nosotros lo aprenderemos por el método de Gauss.
A continuación dejo los enlaces a la teoría y ejercicios (os recuerdo que hay más cosas en la carpeta del Drive que os he compartido).
Finalmente os dejo las orientaciones de EBAU 2017:
- Conocer los conceptos de sistema de ecuaciones lineales y solución de un sistema, así como los tipos de sistemas de ecuaciones lineales en función del número de soluciones que tengan.
- Saber qué son sistemas lineales equivalentes.
- Conocer las transformaciones elementales de un sistema y saber que conducen a sistemas equivalentes.
- Conocer los conceptos de matriz asociada a un sistema y matriz columna de términos independientes.
- Conocer procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas y saber aplicarlos para clasificar y, en su caso, resolver dichos sistemas.
- Resolver problemas extraídos de diversos contextos prácticos, que conduzcan a sistemas de una, dos o tres ecuaciones lineales.
- Interpretar, en dichos contextos, las soluciones de los sistemas a los que dieron lugar los problemas planteados.
- Discutir sistemas sencillos dependientes de un parámetro
INTRODUCCIÓN
Un sistema de ecuaciones lineales y su matriz asociada son de la siguiente forma:
Donde xi son las incógnitas, aij los coeficientes y bi los términos independientes.Una solución del sistema es un conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones. Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Donde xi son las incógnitas, aij los coeficientes y bi los términos independientes.Una solución del sistema es un conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones. Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Según el número de soluciones que tenga el sistema, se clasifican en: Si no tiene solución: Sistema incompatible
Si tiene una única solución: Sistema compatible determinado
Si tiene infinitas soluciones: Sistema compatible indeterminado
Un sistema escalonado es de la siguiente forma:
MÉTODO DE GAUSS
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver, un sistema escalonado.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Debemos hacer 0 los coeficientes de las incógnitas que estén bajo la diagonal principal.
Una vez que obtengamos el sistema escalonado, según la forma que tenga podremos saber de qué tipo es el sistema:
X es cualquier número distinto de cero
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Debemos hacer 0 los coeficientes de las incógnitas que estén bajo la diagonal principal.
Una vez que obtengamos el sistema escalonado, según la forma que tenga podremos saber de qué tipo es el sistema:
X es cualquier número distinto de cero
Un sistema es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero. Este tipo de sistemas son siempre compatibles, porque siempre admiten como solución la trivial, es decir, (0,0,0….0) Se resuelven igual que todos los sistemas.
DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS
Puede ocurrir que los sistemas presenten en las incógnitas o términos independientes valores desconocidos, a los que llamaremos parámetros. En estos casos, discutir el sistema consiste en hallar el valor de dichos parámetros, para los cuales el sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Podemos hacerlo mediante el método de Gauss o el teorema de Rouché-Fröbenius.
CALCULADORA ONLINE DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Usar la calculadora de la misma manera que os comenté para las matrices,
sólo para comprobar que lo que habéis hecho es correcto y en caso de
equivocaros podáis ver vuestros errores.
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