TEMA 4 - LIMITES Y CONTINUIDAD

El padre de los límites, Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie , D ́Alembert escribe la siguiente definición de límite:

“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable”.

La noción de límite es ya una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma.

El cálculo de límites no debe ser un problema, te proponemos estas ayudas:

• Apuntes en formato papel muy bien resumidos aquí
• Lo imprescindible (HTML) sobre los límites aquí
• Teoría a fondo de límites + ejemplos (PDF) aquí
• Presentación (PDF) sobre límites con ejemplos aquí
• Ejercicios (HTML) de límites resueltos paso a paso aquí
• Colección de ejercicios (PDF) sobre límites (nivel medio) aquí
• Colección de ejercicios (PDF) sobre límites y continuidad (nivel medio-alto) aquí
• Calculadora ON LINE de límites aquí
• Videos explicativos (YOUTUBE) para resolver límites aquí o para aplicar los límites a casos concretos aquí
• La verdad está en el límite (DIVULGATIVO), conócelo aquí

+ INFO (RECURSOS de LÍMITES Y CONTINUIDAD)

• Límite de una función: cálculo de límites, asíntotas
• Continuidad de funciones

+ INFO (EJERCICIOS de LÍMITES Y CONTINUIDAD)

• L-0001-S / Límites y continuidad de funciones (con soluciones detalladas)

• Video de cálculo de límites con indeterminación 0/0 (video 1)
• Video de cálculo de límites con indeterminación 0/0 (video 2)
• Video de cálculo de límites con indeterminación 0/0 (video 3)
• Video de cálculo de límites con indeterminación infinito – infinito (video 1)
• Video de cálculo de límites con indeterminación infinito – infinito (video 2)
• Video de cálculo de límites con indeterminación infinito/infinito ó infinito – infinito (video 1)
• Video de cálculo de límites con indeterminación infinito/infinito ó infinito – infinito (video 2)
• Video de cálculo de límites con indeterminación con radicales
• Video de cálculo de límites con cambio de variable

TEMA 3 - PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las ciencias sociales.

El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

¿QUÉ ES LA PROGRAMACIÓN LINEAL?

La programación lineal (PL) es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):

• Método gráfico, basado en las rectas de nivel
• Método gráfico-analítico, básado en el cálculo de vértices
• Método SIMPLEX (es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso).

Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo. En aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales.

ETAPAS O PASOS A SEGUIR
Los pasos a seguir son: 1  Elegir las incógnitas.
2  Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3  Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4  Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
6  Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

FUNCIÓN OBJETIVO
En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables:

f(x,y) = ax + by

RESTRICCIONES
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:
a₁x + b₁y ≤ c₁
a₂x + b₂y ≤ c₂
a_nx + b_ny ≤ c_n

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

REGIÓN FACTIBLE

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado,  llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

SOLUCIÓN OPTIMA

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

VALOR DEL PROGRAMA LINEAL

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR

Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:

• Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
• No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)

A su vez los casos factibles pueden ser de:

• Solución única
• Solución múltiple
• Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)

+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)

• La mejor web sobre programación lineal (teoría, ejercicios resueltos y propuestos)
• Web del IES Aricel para introducirnos en el tema con videos y ejemplos 
• Web matematicasonline con Apuntes y ejercicios
• Ejemplos resueltos de programación lineal (nivel medio-bajo)
• Web Vitutor para repasar la teoría básica sobre la programación lineal
• Web Vitutor con enunciados y soluciones de ejercicios de programación lineal (nivel medio-alto)

• Apuntes Marea Verde - Programación Lineal
• Apuntes de Programacion lineal de la web matematicasonline 
• Resumen teorico con ejercicios de aplicación (nivel medio-alto)
• Colección 1 de ejercicios resueltos de programación lineal (nivel medio)
• Colección 2 de ejercicios resueltos de programación lineal (todos los niveles) 
• Soluciones ejercicios libro Anaya.

• Desmos una Calculadora Gráfica online
• Aplicación Geogrebra para resolver problemas de PROG.LINEAL.
• Calculadora on-line PL para dibujar región factible y obtener el óptimo (máximo 3 restricciones)
• Ejemplo de PL realizado con una hoja dinámica en Geogebra

• Web de la profesora S.Rodríguez con apuntes y listado de ejercicios sobre Programación Lineal (en PDF)
• Soluciones a los ejercicios propuestos por la profesora S.Rodríguez (en PDF)
• Resolución gráfica a los ejercicios propuestos por la profesora S.Rodríguez (en Geogebra)

• Como realizar un ejercicio de programación lineal manualmente (ejercicio 1)
• Como realizar un ejercicio de programación lineal manualmente (ejercicio 2)
• Muchos ejemplos recopilados de UNICOOS al final por parte del IES ARICEL
• Ejemplo de UNICOOS sobre el transporte 01 y la segunda parte 02
• Programación lineal: método grafico con el software de Geogebra
• Como realizar un ejercicio de programación lineal con Geogebra y comprobarlo después con Winqsb

Desmos, un gran descubrimiento

Después del ábaco, la regla de cálculo y las calculadoras científicas, nace Desmos Graphing Calculator, una nueva generación en calculadoras gráficas.  Sin registros previos, sin descargar nada en tu computadora, totalmente gratuita y desde tu navegador de Internet.

Usos educativos en el aula

A veces Las Matemáticas se vuelven complejas, demasiado abstractas y esto desmotiva a algunos  alumnos, al no entender el significado  de una fórmula, ni la conclusión obtenida en un problema, o incluso ni poder visualizar gráficamente los resultados.

Con Desmos ya no hay excusa. Desmos es un calculadora gráfica web on line que ayudará a ilustrar de manera gráfica las fórmulas que se trabajan en clase ofreciendo una ventaja significativa en el aprendizaje. Tanto para los usuarios de iPhone como iPad existe una app Desmos off line que se puede descargar gratuitamente.

¿Qué ofrece?

Se trata de un programa que ofrece una gran cantidad de posibilidades. Permite construir gráficas a partir de funciones, representar gráficamente tablas de datos, evaluar ecuaciones, o explorar transformaciones, entre otros casos. Está pensada para alumnos y profesores de Secundaria, Bachillerato y Universidad. Utiliza una interfaz muy intuitiva, que se aprende a manejar rápidamente, después de descargar la aplicación en Google Chrome y crear una cuenta en el programa.

¿Cómo crear una gráfica?

Si nos centramos en crear una nueva gráfica, veremos que tenemos para ello todos los elementos necesarios para elaborar la fórmula. Podemos así mismo crear y modificar tablas, añadiendo valores. Existe también la posibilidad de jugar con variables y controles deslizantes. Es posible guardar y abrir las gráficas creadas, pero para ello es necesario registrarse en el servicio que soporta el programa. Las gráficas guardadas también se pueden compartir, utilizando una URL.

Otras características

Entre los idiomas que soporta Desmos está el castellano. Podemos empezar a utilizar la aplicación tras iniciar sesión la primera vez, o hacerlo después de establecer distintos parámetros en el proceso de configuración. Soporta distintos tipos de gráficas, desde las que se refieren a funciones regulares o desigualdades, hasta funciones en coordenadas polares, entre otras. La mejor forma de averiguar toda la potencia de esta aplicación es trabajando con ella.

Dispone de numerosos ejemplos, que ayudan a asimilar su funcionamiento, así como de un vídeo tutorial y una completa guía para usuarios, o la guía rápida, que podemos descargar en formato PDF. Los gráficos se pueden imprimir directamente o como documento PDF.

Además, permite compartir gráficos vía email e incrustrarlos en blogs. Desmos también puede funcionar como aplicación de Chrome, la cual puede ser instalada desde la Chrome Web Store.

Si eres un estudiante y estas necesitado de realizar gráficas matemáticas avanzadas, sabrás que existen sitios como http://www.wolframalpha.com, y más recientemente Google que ha puesto a disposición en las búsquedas un graficador de funciones.

• Introducción a Desmos (en español)
• Tutorial 01: Como representar funciones
• Tutorial 02: Como representar funciones e inecuaciones
• Tutorial 03: Ejemplo de Programación Lineal

TEMA 2 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En esta nueva unidad vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss, así mismo existen otros métodos que se salen de nuestra materia pero que es importante conocerlos pero no los estudiaremos en clase, como es por el método de la Matriz Inversa y por la Regla de Cramer. También se puede analizar la compatibilidad de sistemas por Teorema_de_Rouché–Frobenius para determinar el número de posibles soluciones pero nosotros lo aprenderemos por el método de Gauss.

A continuación dejo los enlaces a la teoría y ejercicios (os recuerdo que hay más cosas en la carpeta del Drive que os he compartido).

• TEORIA SISTEMA DE ECUACIONES
• TEORIA SISTEMA DE ECUACIONES 2
• HOJA DE EJERCICIOS DE ECUACIONES 1

Finalmente os dejo las orientaciones de EBAU 2017:

1. Conocer los conceptos de sistema de ecuaciones lineales y solución de un sistema, así como los tipos de sistemas de ecuaciones lineales en función del número de soluciones que tengan.
2. Saber qué son sistemas lineales equivalentes.
3. Conocer las transformaciones elementales de un sistema y saber que conducen a sistemas equivalentes.
4. Conocer los conceptos de matriz asociada a un sistema y matriz columna de términos independientes.
5. Conocer procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas y saber aplicarlos para clasificar y, en su caso, resolver dichos sistemas.
6. Resolver problemas extraídos de diversos contextos prácticos, que conduzcan a sistemas de una, dos o tres ecuaciones lineales.
7. Interpretar, en dichos contextos, las soluciones de los sistemas a los que dieron lugar los problemas planteados.
8. Discutir sistemas sencillos dependientes de un parámetro
   

INTRODUCCIÓN

Un sistema de ecuaciones lineales y su matriz asociada son de la siguiente forma:

 

Donde x_i son las incógnitas, a_ij los coeficientes y b_i los términos independientes.Una solución del sistema es un conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones. Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Según el número de soluciones que tenga el sistema, se clasifican en:
Si no tiene solución: Sistema incompatible
Si tiene una única solución: Sistema compatible determinado
Si tiene infinitas soluciones: Sistema compatible indeterminado

Un sistema escalonado es de la siguiente forma:

MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver,  un sistema escalonado.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.


Debemos hacer 0 los coeficientes de las incógnitas que estén bajo la diagonal principal.

Una vez que obtengamos el sistema escalonado, según la forma que tenga podremos saber de qué tipo es el sistema:

X es cualquier número distinto de cero

SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Un sistema es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero. Este tipo de sistemas son siempre compatibles, porque siempre admiten como solución la trivial, es decir, (0,0,0….0) Se resuelven igual que todos los sistemas.

DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS
Puede ocurrir que los sistemas presenten en las incógnitas o términos independientes valores desconocidos, a los que llamaremos parámetros. En estos casos, discutir el sistema consiste en hallar el valor de dichos parámetros, para los cuales el sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Podemos hacerlo mediante el método de Gauss o el teorema de Rouché-Fröbenius.

CALCULADORA ONLINE DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Usar la calculadora de la misma manera que os comenté para las matrices, sólo para comprobar que lo que habéis hecho es correcto y en caso de equivocaros podáis ver vuestros errores.

https://matrixcalc.org/es/slu.html 

TEMA 1 - MATRICES Y DETERMINANTES

En este tema se verán, por un lado videos explicativos con los conceptos vistos en clase y que considero más relevantes para el EBAU, como son los conceptos de matriz y sus distintos tipos, las operaciones de matrices y la matriz inversa (método directo y Gauss-Jordan) y aplicaciones de las matrices a la vida real. El rango de una matriz en principio no entra y de los determinantes sólo lo más básico que es calcularos por la regla de Sarrus.

Os dejo por un lado todo el tema más ampliado junto con una relación de ejercicios, podéis empezar por los que sabéis hacer (los primeros cinco son un poco más complicados), están todos resueltos al final del mismo.

• Apuntes de Matrices
• Hoja de Ejercicios 1
• Hoja de Ejercicios 2

Por otro lado al final de la entrada os dejo una página web que es muy interesante donde está todo explicado y también tiene videos como los que os dejo a continuación (echarle un ojo por si os viene mejor para estudiar). Además he dejado el enlace a una calculadora online sobre matrices.

1) ¿Qué es una matriz y para qué se usa?
Definición y aplicaciones como modo de almacenamiento de información para empresas en los ordenadores, que la denominan arrays.
Conceptos de: diagonal principal, diagonal secundaria y traza.
2) Tipos de matrices
Rectangular.
Cuadrada.
Matriz fila.
Matriz columna.
Triangular (superior e inferior).
Diagonal.
Unidad.

3) Operaciones con matrices
Suma.
Producto por un escalar.
Trasposición. Propiedades. Matrices simétrica y antisimétrica.
Producto de matrices. Propiedades (no siempre es conmutativo, ¡cuidado!).

4) Inversa de una matriz
Definición.
Concepto de dependencia lineal.
Operaciones lineales con filas.
Cálculo planteando un sistema a partir de la definición.
Cálculo por el método de Gauss-Jordan.

5) Aplicación de las matrices a problemas cotidianos
Básicos.
De operaciones más elaboradas.
De estrategia.

PAGINAS WEB DE INTERÉS

En esta página podéis encontrar todo lo que hemos visto hasta ahora con apuntes y videos explicativos por si algún punto no ha quedado suficientemente claro.

CALCULADORA ONLINE DE MATRICES

Con esta aplicación web podrás calcular determinantes (por la regla de Sarrus o haciendo ceros en la fila o columna que queramos), rangos, hacer una suma (o resta) de matrices, producto de matrices, calcular la matriz inversa, resolver sistemas de ecuaciones por Cramer, por Gauss-Jordan, eliminación gausiana, aplicar el teoema de Rouché–Frobenius, etc. Todo lo que vemos en clase y más cosas.

https://matrixcalc.org/es/ 

Una calculadora de matrices es un software que nos permite a los estudiantes calcular matrices inversas, producto de matrices, suma de matrices, etc. de una manera rápida y sencilla evitando el largo trabajo de realizar estas operaciones en hoja y lápiz.

PRESENTACION

Este blog contiene materiales con fines educativos. Algunos de los recursos  han sido obtenidos en la red. Si alguno de los autores  considera abusivo su utilización, no dude en ponerse en contacto con la persona que administra este blog.

El material está realizado para los alumnos y alumnas de 2º Bachillerato de Sociales de matemáticas para el curso 2017/18 del IES Alquerías Seáis todos bienvenidos!